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01 다항식의연산(16Q) · 문항 5

5. \(a-b = 2 + \sqrt{5}\), \(b-c = -2\sqrt{5}\) 일 때, \(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca\) 의 값은?
① 1 ② 8 ③ 12 ④ 19 ⑤ 38

힌트 1 [A018] : 등식연산 변변합차

성취도

\(a-b = 2 + \sqrt{5},\; b-c = -2\sqrt{5}\) 이므로 두 식을 더하면
\(a-c = 2 - \sqrt{5}\) 에서 \(c-a = \sqrt{5} - 2\)

힌트 2 [A065] : 의도에 맞게 식을 정리

성취도

\(a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca) = \frac{1}{2}\bigl(2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca\bigr)\)

힌트 3 [A003] : 완전제곱식, 전개, 인수분해, 변형식

성취도

\(= \frac{1}{2}\{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2\}\)

\(= \frac{1}{2}\{(2 + \sqrt{5})^2 + (-2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5} - 2)^2\} = 19\)

정답 ④

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